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由線代觀點解一道高中矩陣模考題

本文原是想投稿線代啟示錄,然而周老師已經離開交大,也許久未更新blog,難過惋惜之餘,決定自己來寫。

 

 

在去年的北模試題中,出現一題對高中生來說比較兇猛的矩陣問題。其實有些所謂的高中數學難題,是由大學數學「取材」來並修改成不超綱的樣子,但本質上仍不算一般高中生應學會的。以下便呈現此題,並分享在及學過大學線代的前提下可以如何輕鬆解題。

 

題目: 已知二階方陣 A=\begin{bmatrix} a & b\\c & d\end{bmatrix},其中a, b, c, d均為實數,

X_0=\begin{bmatrix}x_0\\y_0\end{bmatrix} , X_1=\begin{bmatrix}x_1\\y_1\end{bmatrix} , X_2=\begin{bmatrix}x_2\\y_2\end{bmatrix} , X_3=\begin{bmatrix}x_3\\y_3\end{bmatrix},請選出正確選項:

(1) 若ad-bc=0,且abcd\neq0X_0為坐標平面上之一點,則AX_0必落在斜率為\mfrac{c}{a}且通過原點的直線上。

(2) 若ad-bc=0,且abcd\neq0,則滿足方程式A\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0\\0\end{bmatrix}的所有\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}必落在斜率為-\mfrac{a}{c}且通過原點的直線上。

(3) 若A=\begin{bmatrix}\frac15&\frac35\\\frac25&\frac65\end{bmatrix}X_0為坐標平面上之一點,則AX_0X_0在直線y=2x上之投影。

(4) 若ad-bc\neq0,且X_1 , X_2 , X_3為坐標平面上不共線三點,則AX_1 , AX_2 , AX_3三點亦不共線。

(5) 若坐標平面上任一點 \begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix} 皆可依序先由二階方陣 A 變換,再經方陣\begin{bmatrix}4&-3\\3&4\end{bmatrix}變換至\begin{bmatrix}-x\\-y\end{bmatrix},則矩陣 A 為鏡射矩陣。

 

 

 

解:

(1)  ○  \det(A)=0則必然第二列是第一列的 k 倍,即 c=ka , d=kb 。那麼AX_0=\begin{bmatrix}a&b\\ka&kb\end{bmatrix}X_0乘完結果必然第二列是第一列的k倍,即 y 坐標必為 x 坐標的k=\mfrac{c}{a}倍。

(2)  ×  等同於求解聯立方程式\begin{cases}ax+by=0\\kax+kby=0\end{cases},故應為-\frac{a}{b}

(3)  ×  投影矩陣P必滿足P^2=P,顯然不合。

(4)  ○  \triangle X_1X_2X_3在經方陣 A 變換後,其面積必變為原來的\det(A)倍,故選項正確。

(5)  ×  設B=\begin{bmatrix}4&-3\\3&4\end{bmatrix}=5T_1,其中 T_1 為轉\theta角的旋轉矩陣,\cos(\theta)=\mfrac45 。由題意AB=-I,則A=\mfrac15T_2,其中 T_2 為轉180^{\circ}-\theta角的旋轉矩陣,顯然不是鏡射矩陣。

 

 

選項(3)亦可由另一個角度來看:如果 AX_0X_0L:y=2x 上的投影,那麼 AX_0-X_0 便是 L 的法向量,換句話說,其與 L 的方向向量垂直,便可列式

(1)   \begin{align*} \begin{bmatrix}1&2\end{bmatrix} (AX_0-X_0)=&\,0\\ \Rightarrow\begin{bmatrix}1&2\end{bmatrix}\big(A-I\big)X_0=&\,0\\ \Rightarrow\begin{bmatrix}1&2\end{bmatrix} \begin{bmatrix}-\frac45&\frac35\\ \frac25&\frac15\end{bmatrix}X_0=&\,0\\ \Rightarrow\begin{bmatrix}0&1\end{bmatrix}X_0=&\,0 \end{align*}

顯然這並不是對任意 X_0 皆成立的。

 

 

 

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