有關合成函數求極限的一個反例

函數的連續性，在高等數學中是非常重要的。函數的連續與否，影響了許多定理的成立。

例如在《白話微積分》第三版的第51頁，有個性質1.5.2，在求極限是很好用的：

合成函數 ，實數  在  定義域內，滿足，
若外層函數  在  處連續，就可以把  丟到  內部，即
      

事實上，對於大多數非數學系同學來講，微積分的學習主要是應付必修課考試，或者是轉學考、研究所入學考。但凡不影響考試答題，多數人都沒有興趣深入探討理論、研究定理成立條件。而因為題目會出現的函數，大部分都是連續函數，除非出題老師本來就刻意從反例出題來考驗考生，不然你只要簡單記得 這本身真的是夠用。

那麼，關於這個性質究竟有沒有反例呢？換句話說，能不能構造出不連續的 ，使得 與 不相等呢？

其實非常簡單，我們讓外函數 在\ (x=b\) 處「跳開」即可。

設

(1)  

則

(2)  

但

(3)  

兩者不相等。