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有關合成函數求極限的一個反例

函數的連續性,在高等數學中是非常重要的。函數的連續與否,影響了許多定理的成立。

例如在《白話微積分》第三版的第51頁,有個性質1.5.2,在求極限是很好用的:

合成函數 y=f\big(g(x)\big),實數 bf(x) 定義域內,滿足\medop\lim\limits_{x\to a}g(x)=b,
若外層函數 f(x)x=b 處連續,就可以把 \lim 丟到 f 內部,即

    \begin{align*} \lim_{x\to a}f(g(x)) =f\big(\lim_{x\to a} g(x)\big) =f(b)\end{align*}

事實上,對於大多數非數學系同學來講,微積分的學習主要是應付必修課考試,或者是轉學考、研究所入學考。但凡不影響考試答題,多數人都沒有興趣深入探討理論、研究定理成立條件。而因為題目會出現的函數,大部分都是連續函數,除非出題老師本來就刻意從反例出題來考驗考生,不然你只要簡單記得\mlim{x\to a}f(g(x))     =f\big(\mlim{x\to a} g(x)\big)     =f(b) 這本身真的是夠用。

那麼,關於這個性質究竟有沒有反例呢?換句話說,能不能構造出不連續的 f(x),使得 \mlim{x\to a}f(g(x))f\big(\mlim{x\to a} g(x)\big) 不相等呢?

其實非常簡單,我們讓外函數 f(x) 在\ (x=b\) 處「跳開」即可。

(1)   \begin{align*} f(x)=\mycases{3ex}{-2mm} \begin{array}{ll} 1&x=0\\[1mm] 0&x\ne0 \end{array}\,,\quad g(x)=x \end{align*}

(2)   \begin{align*} \lim_{x\to0}f(g(x)) =\lim_{x\to0}f(x)=0 \end{align*}

(3)   \begin{align*} f\big(\lim_{x\to0}g(x)\big) =f\big(\lim_{x\to0}x\big) =f(0)=1 \end{align*}

兩者不相等。

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