有關合成函數求極限的一個反例
函數的連續性,在高等數學中是非常重要的。函數的連續與否,影響了許多定理的成立。
例如在《白話微積分》第三版的第51頁,有個性質1.5.2,在求極限是很好用的:
合成函數
,實數
在
定義域內,滿足
,
若外層函數
在
處連續,就可以把
丟到
內部,即 
事實上,對於大多數非數學系同學來講,微積分的學習主要是應付必修課考試,或者是轉學考、研究所入學考。但凡不影響考試答題,多數人都沒有興趣深入探討理論、研究定理成立條件。而因為題目會出現的函數,大部分都是連續函數,除非出題老師本來就刻意從反例出題來考驗考生,不然你只要簡單記得 這本身真的是夠用。
那麼,關於這個性質究竟有沒有反例呢?換句話說,能不能構造出不連續的 ,使得
與
不相等呢?
其實非常簡單,我們讓外函數 在\ (x=b\) 處「跳開」即可。
設
(1)
則
(2)
但
(3)
兩者不相等。