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高中極限題的賴皮解法

一、前言

做極限問題時,有一種方法,是先假設極限值為 \alpha,接著再解方程式求出 \alpha 值。嚴格說起來,正確解法應該要證明極限存在,否則你可能是把實際上發散的極限解出一個虛假的極限值。

但高中數學很多時候不是計算題,過程稍不嚴謹無妨,只要自己確信是對的就好。比方說按題意極限很明顯存在,只是我不去證。

其實高中數學老早有這種方法了。當我們求馬可夫鏈的穩定態,嚴格說起來是求

(1)   \begin{align*} \begin{bmatrix} x\\y \end{bmatrix} =\lim_{n\to\infty} A^n \begin{bmatrix} x_0\\y_0 \end{bmatrix} \end{align*}

但高二下學到矩陣時,尚未學到高三的極限概念。就算對高三生來講,解 A^n 也是辦不到的。所以乾脆假設 \begin{bmatrix} x\\y \end{bmatrix} 是存在的,就有

(2)   \begin{align*} \begin{bmatrix} x\\y \end{bmatrix} =&\,\lim_{n\to\infty} A^n \begin{bmatrix} x_0\\y_0 \end{bmatrix}\\ =&\,\lim_{n\to\infty} A^{n+1} \begin{bmatrix} x_0\\y_0 \end{bmatrix}\\ =&\,A\lim_{n\to\infty} A^n \begin{bmatrix} x_0\\y_0 \end{bmatrix} \end{align*}

然後解方程式

(3)   \begin{align*} A\begin{bmatrix} x\\y \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} x\\y \end{bmatrix} \end{align*}

事實上,馬可夫鏈不一定有穩定狀態,反例如轉移矩陣A=\begin{bmatrix} 0 & 1\\1 &0 \end{bmatrix},初始分佈為 \begin{bmatrix} x_0\\y_0 \end{bmatrix} ,其中 x_0\ne0.5,這樣就不會有穩定狀態。但只要題目避開這種奇葩的特例,一般還是會存在穩定狀態,於是這樣的解法還是行得通。

 

另一例是期望值的某一種解法。若骰子丟中一點得 1 元,六點得 6 元,其它點數則先得1元再繼續投擲,求獎金期望值。正規寫法,會寫出複雜的無窮級數。對於這個無窮級數,不直接運算,而是拉出

(4)   \begin{align*} E=&\,\frac16\times1+\frac16\times6\\ &\quad+\frac23\times\frac16\times(1+1) +\frac23\times\frac16\times(6+1)\\ &\quad+(\frac23)^2\times\frac16\times(1+2) +(\frac23)^2\times\frac16\times(6+2)+\cdots\\ =&\,\frac16\times1+\frac16\times6\\ &\quad+\frac23\times\Big[ \frac16\times(1+1)+\frac16\times(6+1)\\ &\quad+\frac23\times\frac16\times(1+2) +\frac23\times\frac16\times(6+2)\\ &\quad+(\frac23)^2\times\frac16\times(1+3) +(\frac23)^2\times\frac16\times(6+3)+\cdots\Big]\\ =&\,\frac16\times1+\frac16\times6\\ &\quad+\frac23\times\Big[1+ \frac16\times1+\frac16\times6\\ &\quad+\frac23\times\frac16\times(1+1) +\frac23\times\frac16\times(6+1)\\ &\quad+(\frac23)^2\times\frac16\times(1+2) +(\frac23)^2\times\frac16\times(6+2)+\cdots\Big]\\ =&\,\frac16\times1+\frac16\times6+\frac23\times(1+E) \end{align*}

這樣可簡單移項解出 E=\frac{11}2 。雖說後來的移項很簡單,但前面這樣拉出來並不太容易。可改採較機率的看法,畫出整個遊戲的無限延伸樹狀圖,設期望值 E ,並看出:若已經投擲 2 到 5 其中一點,並拿 1 元,即將開始第二回合前,若將此時此刻看成整個遊戲開始前,那麼此時開始計算的期望值也同樣是 E,因為此時開始看的無限延伸樹狀圖與整個遊戲的樹狀圖完全是同構的。便可列出

(5)   \begin{align*} E=\frac16\times1+\frac16\times6+\frac23\times(1+E) \end{align*}

 

以下將再介紹,利用類似以上二例辦法,來解開高中數學裡的極限問題。

 

二、例題

1. 數線上 A(0), B(1) ,取P_1\ol{AB} 中點、 P_2\ol{P_1B} 中點、 P_3\ol{P_1P_2} 中點、 P_4\ol{P_3P_2} 中點、……以此類推。則 \mlim{n\to\infty}P_n =\ulthr

 

 

正規解法為依題目敘述分析出答案為

(6)   \begin{align*} 1-\frac12+\frac14-\frac18+\cdots \end{align*}

有看出這個就好算了。若無法看出,可改採下面這個方法。

若我們直接設答案為 x ,就是說,我們先以 01 兩點作為線段兩端按題目所述操作,極限點是 x 。那麼如果我以 abb>a )兩點作為線段兩端按題目所述操作,極限點是 c,則前後兩例的線段長必成比例。講具體點,必然要有

(7)   \begin{align*} \frac{x-0}{1-0}=\frac{c-a}{b-a} \end{align*}

所以當我們按題目操作兩步驟得到 P_1(\frac12)P_2(\frac34) ,想像現在是此時才開始,以 P_1P_2 兩點作為線段兩端按題目所述操作,會得到同一個極限點 x ,此時必有下列關係

(8)   \begin{align*} \frac{x-0}{1-0}=\frac{x-\frac12}{\frac34-\frac12} \end{align*}

這樣就解出 x=\frac34

此題因正規解法也不是太難想到,所以此解法威力不夠明顯。接著再看類似解法用在下一題。

 

 

2. 平面上, P_0 為原點, P_1(1,0) 。且 \ol{P_{n+1}P_n}=\mfrac{2}{3}\ol{P_nP_{n-1}} 對所有正整數 n 都成立, m_{\ol{P_{n+1}P_n}}=0 對所有偶數 n 都成立、 m_{\ol{P_{n+1}P_n}}=\sqrt{3} 對所有奇數 n都成立。若 P_n(a_n,b_n) ,則 \big( \mlim{n\to\infty} a_n \s,\mlim{n\to\infty} b_n \big)=\ulfive

 

 

設極限點 P(x,y) ,很明顯是存在的,然後先求出 P_2(\frac43,\frac23\sqrt3) ,則

(9)   \begin{align*} \vect{OP}=\vect{OP_2}+(\frac23)^2\vect{P_2P} \end{align*}

(10)   \begin{align*} (x,y)=(\frac43+\frac49x , \frac23\sqrt3+\frac49y) \end{align*}

便易解出 (x,y)=(\frac{12}5 , \frac65\sqrt3)

 

 

3. 數列 \langle a_n\rangle\langle b_n\rangle 滿足 a_1=1,b_1=2 ,且

    \[ \begin{bmatrix} ~a_{n+1}~\\~b_{n+1}~ \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} ~1 & -2~\\ ~-1 & 0~ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} ~a_n~\\~b_n~ \end{bmatrix} ~~~ (n=1,2,3,\cdots) \]

若極限 \mlim{n\to\infty}\mfrac{b_n}{a_n}=\alpha 存在且 \alpha<1,則 \alpha=\ulthr

 

 

    \begin{align*} \alpha=&\,\lim_{n\to\infty}\frac{b_n}{a_n}\\ =&\,\lim_{n\to\infty}\frac{b_{n+1}}{a_{n+1}}\\ =&\,\lim_{n\to\infty}\frac{-a_n}{a_n-2b_n}\\ =&\,\lim_{n\to\infty}\frac{-1}{1-2\frac{b_n}{a_n}} \hspace{9mm}\eqnote{devided by \(a_n\)}\\ =&\,\frac{-1}{1-2\alpha} \end{align*}

移項可得 2\alpha^2-\alpha-1=0,解出 \alpha=1-\frac12 。由於 \alpha<1 ,故答案為 \alpha=-\frac12

此題來自中央數學系甄試二階段筆試,由於題目已經聲明極限存在,所以這解法並不賴皮,甚至可能就是命題老師預設的解法。

 

三、練習題

經過上面演示,就不難將相同套路用在下面題目。

(1) 有一青蛙先由 P 向東前進 1 公尺到 P_1 處,再由 P_1 向北前進 \frac34 公尺到 P_2 處,又由 P_2 向西前進 \frac34 公尺到 P_3 處,再由 P_3 向南前進 \frac34 公尺到 P_4 處,又由 P_4 向東前進 \frac34 公尺到 P_5 處,如此繼續行進(即每次逆時針方向轉 90^{\circ} 且每段距離為前段之 \frac34 倍),得 P_6, P_7, \cdots 。設 \mlim{n\to\infty}P_n=Q ,則 \ol{PQ}=\ulthr 公尺。

 

 

 

(2) 數學村裡有一棵憲性袋樹,長法很奇怪又有趣。第一天樹開始長高 1 公尺,第二天在頂上長出對稱的兩支新枝,每一新枝各長 \frac12 公尺,而且夾成一個直角,第三天在每支新枝頂上又分別長出對稱的兩支新枝,每一新枝各長 \frac14 公尺,且夾一直角,如此繼續下去。新枝長度均為前一天的 \frac12 ,首四天樹的長相如下。若憲性袋樹壽命無限,如此不斷生長,則樹高的極限是 \ulthr 公尺。

 

 


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