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幾道練習題分享

1. 已知\displaystyle\lim_{x\to\infty}\left(\frac{x-a}{x+a}\right)^x =\int_a^{\infty}4x^2e^{-2x}dx,求常數 a

    \begin{align*} &\lim_{x\to\infty}\left(\frac{x-a}{x+a}\right)^x\\ =&\lim_{x\to\infty}\left(1+\frac{-2a}{x+a}\right)^x\\ =&\,e^{-2a}\\ &\int_a^{\infty}4x^2e^{-2x}dx\\ =&\left.-2x^2e^{-2x}\right\vert_a^{\infty} +4\int_a^{\infty}xe^{-2x}dx\quad\\ =&\,2a^2e^{-2a}+2ae^{-2a}+e^{-2a}\\ \Rightarrow e^{-2a}=&\left(2a^2+2a+1\right)e^{-2a}\\ \Rightarrow a=&\,0 \text{ or } -1 \end{align*}

 

2. 對於 \displaystyle \int_0^{x+y}e^{-t^2}dt =\int_0^x x\sin(t^2)dt,求 \left.\dfrac{dy}{dx}\right\vert_{x=0}

等號兩邊同時對 x 求導

    \begin{align*} e^{-(x+y)^2}=\int_0^x\sin(t^2)dt+x\sin(x^2) \end{align*}

x=0

    \begin{align*} e^{-y^2}\left(1+\left.\frac{dy}{dx}\right\vert_{x=0}\right)=&0\\ \Rightarrow \left.\frac{dy}{dx}\right\vert_{x=0}=&-1 \end{align*}

 

3. 判斷級數斂散性: \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac 1 {\int_0^n \frac{\sqrt x}{\sqrt{1+x^2}} dx}

首先處理積分,被積分函數的分子 \sqrt{x} 在區間 [0,n] 上恆滿足 \sqrt{x}\le\sqrt{n},故有

    \begin{align*} \int_0^n \frac{\sqrt x}{\sqrt{1+x^2} dx}\le & \sqrt{n}\int_0^n \frac{1}{\sqrt{1+x^2}} dx\\ =&\sqrt{n}\cdot\sin^{-1}(n)\\ \le&\frac{\pi} 2\sqrt{n} \end{align*}

所以有

    \begin{align*} \frac{1}{\int_0^n \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{1+x^2}} dx} \ge\frac{2}{\pi}\cdot\frac{1}{\sqrt{n}} \end{align*}

由於 \sum \frac{1}{\sqrt{n}} 發散,由比較審斂法,原級數發散。

 

4. 求出 \displaystyle f(x)=\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^{n} \frac{x(1-x)}{k+(n-k)x}\;,\,x\in[0,1]

顯然 f(0)=f(1)=0。對於 x\in(0,1)

    \begin{align*} &\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^{n} \frac{x(1-x)}{k+(n-k)x}\\ =&x(1-x)\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k(1-x)+nx}\\ =&x(1-x)\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{(\frac{k}{n})(1-x)+x}\cdot\frac{1}{n}\\ =&x(1-x)\int_0^1 \frac{1}{(1-x)y+x}dy\\ =&x\cdot\left[\ln\abs{(1-x)y+x}\right]_0^1\\ =&-x\ln(x) \end{align*}

    \begin{align*} f(x)=\mycases{3ex}{-6pt}\begin{array}{ll} -x\ln(x) & ,\,0<x\le1\\ 0 & ,\,x=0 \end{array} \end{align*}

 


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