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變數代換解極限問題

在大一微積分剛開學的課程內容,遇到解極限的問題。

通常此時尚未學到均值定理、羅必達、泰勒展開、級數斂散等等主題,

所以能用的工具極其稀少,往往更考驗同學處理式子的技巧。

 

微積分中最重要的技巧就是變數代換,可以說是微積分的靈魂。

在剛開學的微積分課程,便經常使用到變數代換賴解極限。

例:

    \begin{align*} \lim_{x\to\pi} \frac{\sin(mx)}{\sin(nx)}\;,\;m\ne n\,,\;m,n\in\mathbb{N}\qquad \end{align*}

 

 

我們對於變數趨向 0 比較熟悉,所以設 y=x-\pi ,這樣就有 y\to 0 ,於是變成

    \begin{align*} &\,\lim_{y\to 0} \frac{\sin\big(m(y+\pi)\big)}{\sin\big(n(y+\pi)\big)}\\[1mm] =&\,\lim_{y\to 0} \frac{\sin(my+m\pi)}{\sin(ny+n\pi)} \end{align*}

因為 \sin(x+\pi)=-\sin(x) , \sin(x+2\pi)=\sin(x), \cdots

    \begin{align*} =&\,\lim_{y\to 0} \frac{(-1)^m\sin(my)}{(-1)^n\sin(ny)}\\[1mm] =&\,(-1)^{m-n}\lim_{y\to 0}\frac{\sin(my)}{my}\\[1mm] &\quad \cdot\frac{ny}{\sin(ny)}\cdot\frac{m}{n}\qquad\qquad\\[1mm] =&\,(-1)^{m-n}\cdot\frac{m}{n} \end{align*}

 

 

 

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    2 COMMENTS

    1. SAM2018-11-16 16:21:28

      很想買鴻大的白話微積分來複習微積分,但很怕遇到像上面那題倒數第二個等於我看不懂的問題== 怎麼辦 沒人可問

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      • SAM2018-11-16 16:25:39

        拿張白紙來仔細看才發現是要化簡

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