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不使用柯西均值定理證明羅必達法則

一般在大一微積分教科書中,往往是用柯西均值定理來證明羅必達法則。

除此之外,還有別的證明方式嗎?

仔細想想,羅必達1是十七世紀的數學家,柯西則是十九世紀數學家,想必一開始肯定不是用柯西均值定理證明的。

本文便分享一個不使用柯西均值定理的證明方法2

 

 

首先注意,我們只須證明左極限,於是右極限便同理。

假定\lim\limits_{x\to a^-}f(x)=\lim\limits_{x\to a^-}g(x)=0
由於\lim\limits_{x\to a^-}g'(x)\neq0(由羅必達法則的敘述),
所以g'(x)x=a的某個近旁
(開區間(a-k_1, a),其中k_1是足夠小的正數)
恆正或恆負,不失一般性,可假設g'(x)x=a的近旁恆正。

 

現在欲證

(1)   \begin{align*}\lim_{x\to a^-}\frac{f(x)}{g(x)}= L\end{align*}

 

證明的思路:對於任意小的正數\epsilon,都能找到足夠靠近ax使下式成立

(2)   \begin{align*}L-\epsilon\leq\frac{f(x)}{g(x)}\leq L+\epsilon\end{align*}


這樣,因為\epsilon可以任意小,便足以說明極限值為L

 

首先因為

(3)   \begin{align*}\lim_{x\to a^-}\frac{f'(x)}{g'(x)}=L\end{align*}


我們可以說:給定任意正數\epsilon
我們都能找到x=a的某個近旁
(開區間(a-k_2, a),其中k_2是足夠小的正數)使得

(4)   \begin{align*}L-\epsilon\leq\frac{f'(x)}{g'(x)}\leq L+\epsilon\end{align*}


在這近旁成立。現在取k=\min\big\{k_1,k_2\big\}
於是考慮x=a的某個近旁(開區間(a-k, a)),
式子(1)皆成立(因為k\leq k_2)且g'(x)>0(因為k\leq k_1),
於是將式子(1)同乘以g'(x)得到

(5)   \begin{align*}\big(L-\epsilon\big)g'(x)\leq f'(x)\leq\big(L+\epsilon\big)g'(x)\end{align*}


現在將式子 (5) 整個一起積分,得到

(6)   \begin{align*}-\big(L-\epsilon\big)g(x)\leq -f(x)\leq-\big(L+\epsilon\big)g(x)\end{align*}

為何會多個負號?這是因為我們現在考慮的是左極限,x位於a的左邊,
所以剛剛積分的範圍是(x,a),這樣就會多負號了。
例:

(7)   \begin{align*}\,F(x)=&\,\int_a^x f(t) \mathop{}\mathrm{d} t\quad\Rightarrow F'(x)=f(t)\\G(x)=&\,\int_x^a g(t) \mathop{}\mathrm{d} t\quad\Rightarrow G'(x)=-g(t)\end{align*}

現在注意,由於g(x)(x,a)是遞增到0的,
這說明g(x)(x,a)是負的,所以
將式子(3)同除以-g(x)得到

(8)   \begin{align*}L-\epsilon\leq \frac{f(x)}{g(x)}\leq L+\epsilon\end{align*}

由於\epsilon可任意小,這就說明

(9)   \begin{align*}\lim_{x\to a^-}\frac{f(x)}{g(x)}= L\end{align*}

 

 

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  1. 雖然不是羅必達發現的,但是他首先寫在教科書上的。
  2. 但並非羅必達當初所使用的方法。
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