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泰勒展開

泰勒展開是一個非常重要、非常好用的主題,它是微分學的巔峰。

很多理工的同學離開大一微積分以後,也常要使用到泰勒展開。

請看此次教學,希望能讓你明白它為何如此重要、好用,

以及讓你能較省力地求出泰勒級數出來。

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你覺得泰勒展開寫得如何?

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    6 COMMENTS

    1. bill2013-01-02 17:38:20

      你好,請問第23頁將e取為2.7,再用此值來算誤差。 但是2.7是如何得知,若是由泰勒展式,那又怎麼知道展式是”合宜”的展開? 感謝回答。

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      • admin2013-01-04 22:11:41

        因為微積分課程早在此之前就介紹過自然指數,大家應該對它多少有點概念,所以應該多少都知道 e 的值大約是2.7左右。
        我是在此前提下預設大家都知道 e 大約是2.7,但假如真的不知道的話,反正重點其實也不是2.7,重點是我想找出一個它的上界(所以你看我乾脆說它小於3)。所以我們可以想其它辦法來估計說它會小於誰。

        譬如說,首先我們知道

            \[e=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}\]

        我們想讓它小於一個我們覺得易算的東西,譬如說我利用

            \[n!>2^n\]

        這在

            \[n\geq 4\]

        時都成立,所以我們可以確定

            \[\sum_{n=4}^{\infty}\frac{1}{n!}<\sum_{n=4}^{\infty}\frac{1}{2^n}\]

        而右式其實是無窮等比級數,易求出

            \[\frac{\frac{1}{8}}{1-\frac{1}{2}}=\frac{1}{4}\]

        於是e就會小於

            \[1+1+\frac{1}{2}+\frac{1}{6}+\frac{1}{4}\]

        這樣仍然得到

            \[e\]

        會比

            \[3\]

        還小。如果你用別的辦法來估出它小於

            \[4\]

        或小於其它值,那也無所謂,重點是找到一個上界以便我們作誤差估計。

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      • admin2013-01-04 22:19:41

        另外,我不清楚何謂「合宜」的展開,你可以再把你的意思說清楚點嗎?

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    2. john2018-03-25 15:30:26

      謝謝老師做的精美講義~
      不過第6頁計算arcsin()在0的展開
      x 4次方的係數好像應該是(3/8)而不是(1/8)
      以及逐項積分的x 4次方也要稍微改一下
      辛苦老師了~~ :-) :-)

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    3. john2018-03-25 16:02:47

      例題1.8
      sigma 的分母應該是(n*(3^n))

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      • admin2018-03-26 20:49:15

        感謝回報,已經更正

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