函數的連續性,在高等數學中是非常重要的。函數的連續與否,影響了許多定理的成立。

例如在《白話微積分》第三版的第51頁,有個性質1.5.2,在求極限是很好用的:

合成函數 y=f\big(g(x)\big),實數 bf(x) 定義域內,滿足\medop\lim\limits_{x\to a}g(x)=b,
若外層函數 f(x)x=b 處連續,就可以把 \lim 丟到 f 內部,即

    \begin{align*} \lim_{x\to a}f(g(x)) =f\big(\lim_{x\to a} g(x)\big) =f(b)\end{align*}

事實上,對於大多數非數學系同學來講,微積分的學習主要是應付必修課考試,或者是轉學考、研究所入學考。但凡不影響考試答題,多數人都沒有興趣深入探討理論、研究定理成立條件。而因為題目會出現的函數,大部分都是連續函數,除非出題老師本來就刻意從反例出題來考驗考生,不然你只要簡單記得\mlim{x\to a}f(g(x))     =f\big(\mlim{x\to a} g(x)\big)     =f(b) 這本身真的是夠用。

那麼,關於這個性質究竟有沒有反例呢?換句話說,能不能構造出不連續的 f(x),使得 \mlim{x\to a}f(g(x))f\big(\mlim{x\to a} g(x)\big) 不相等呢?

其實非常簡單,我們讓外函數 f(x) 在\ (x=b\) 處「跳開」即可。

(1)   \begin{align*} f(x)=\mycases{3ex}{-2mm} \begin{array}{ll} 1&x=0\\[1mm] 0&x\ne0 \end{array}\,,\quad g(x)=x \end{align*}



(2)   \begin{align*} \lim_{x\to0}f(g(x)) =\lim_{x\to0}f(x)=0 \end{align*}


(3)   \begin{align*} f\big(\lim_{x\to0}g(x)\big) =f\big(\lim_{x\to0}x\big) =f(0)=1 \end{align*}


兩者不相等。

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多數同學在準備指考數學科時,有個疑問:非選的作答過程該怎麼寫比較能拿分?
在我的教學中,我通常會強烈建議準備指考的同學們,若要準備指考非選題,有兩個重要的官方文件要去看:

1. 每年七月的指考非選參考答案

此文件簡要說明了官方預設的正確答題過程要怎麼寫
只要在官網的歷年試題頁面即可下載

https://www.ceec.edu.tw/xmfile?xsmsid=0J052427633128416650

2. 每年八月發佈在選才電子報的指考數學甲(乙)非選擇題評分標準

此文件是全部非選題批改完畢後,由大考中心數學科研究員所寫的報告。內文詳細列出多種正確解答、多種常見錯誤答題方式,甚至說明漏寫什麼會扣分。仔細看清楚此文件之後,不但能學習書寫作答過程,還容易發現許多市面上講義提供的是會被扣分的詳解過程(以線性規劃最為常見)!

我往往給我的學生一個觀念:你去玩一個遊戲,莊家自己的規則說明,與一旁自稱老玩家給你的經驗分享,哪個更可信(不考慮莊家訛你)?所以不要太相信包括我的任何老師,以大考中心說法為準。

自105指考以後,選才電子報皆直接呈現在網站上,歷年數學評分標準連結如下:

108學年度指考非選擇題評分標準說明-數學甲

108學年度指考非選擇題評分標準說明-數學乙

107學年度指考非選擇題評分標準說明-數學甲

107學年度指考非選擇題評分標準說明-數學乙

106學年度指考非選擇題評分標準說明-數學甲

106學年度指考非選擇題評分標準說明-數學乙

105學年度指考非選擇題評分標準說明-數學甲

105學年度指考非選擇題評分標準說明-數學乙

而更早期則是PDF檔,現在已經比較難找到。為方便各位考生,我這裡直接將我以前搜集的PDF打包分享,請點下方:

數學指考非選考生作答情形分析.zip

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實施108課綱的第一個學期即將來臨,在這一新的課綱中,刪去了99課綱的插值多項式。回想當年99課綱剛實行,出現這樣一個從來不曾在高中數學出現的主題,致使許多老師一陣忙亂,自己都不熟甚至沒學過了,還要教學生。然而這些年來,隨著老師們的不斷編寫教材與發展考題,大家也慢慢感受到插值多項式的精神、課綱制定者將插值多項式放入高中數學的用意,歷年大考亦出現幾道可直接用插值多項式想法而不必死套公式便可得到答案的妙題。如今,插值多項式又要因新課綱而退出高中數學舞台,頗感惋惜之餘,決定寫篇短文,分享拉格朗日插值法的樸素想法。

按這裡下載

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數甲:

 

第一部分

二、多選題

6. 設 \langle a_n\rangle\langle b_n\rangle 為兩實數數列,且對所有正整數 na_n<b^2_n<a_{n+1} 均成立。若已知 \mlim{n\to\infty} a_n=4 ,試選出正確的選項。
(1) 對所有正整數 na_n>3 均成立
(2) 存在正整數 n ,使得 a_{n+1}>4
(3) 對所有正整數 nb_n^2<b_{n+1}^2 均成立
(4) \mlim{n\to\infty} b_n^2=4
(5) \mlim{n\to\infty} b_n=2\mlim{n\to\infty} b_n=-2

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許多同學在求數列極限時,習慣性地也使用羅必達法則。例如 \mlim{n\to\infty}\mfrac{\ln(n)}{n} ,使用羅必達法則寫成 \mlim{n\to\infty} \mfrac{\frac{1}{n}}{1}=0 。這樣有點奇怪,因為數列是離散的,嚴格說起來不能對其求導。若要看起來正確一點,可以先將 n 改為 x ,寫成

    \begin{align*} &\,\lim_{x\to\infty} \frac{\ln(x)}{x}\\[1mm] \overset{L}{=}&\,\lim_{x\to\infty} \frac{\frac{1}{x}}{1}=0 \end{align*}

這樣,因為若 f(x)\to L ,則 a_n=f(n)\to L ,所以能推論原極限也是 0 。但這樣似乎又囉嗦了點,既然看起來差不多,不嚴謹點對數列求導好像結果也一樣。

 

其實,在羅必達法則之後大約兩百年,奧地利數學家 Otto Stolz 於 1885 年提出了羅必達法則的離散版本,今日稱之為 Stolz-Cesaro Theorem 。

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