微積分福音

 

許多同學在求數列極限時，習慣性地也使用羅必達法則。例如 \mlim{n\to\infty}\mfrac{\ln(n)}{n} ，使用羅必達法則寫成 \mlim{n\to\infty} \mfrac{\frac{1}{n}}{1}=0 。這樣有點奇怪，因為數列是離散的，嚴格說起來不能對其求導。若要看起來正確一點，可以先將 n 改為 x ，寫成

    \begin{align*} &\,\lim_{x\to\infty} \frac{\ln(x)}{x}\\[1mm] \overset{L}{=}&\,\lim_{x\to\infty} \frac{\frac{1}{x}}{1}=0 \end{align*}

這樣，因為若 f(x)\to L ，則 a_n=f(n)\to L ，所以能推論原極限也是 0 。但這樣似乎又囉嗦了點，既然看起來差不多，不嚴謹點對數列求導好像結果也一樣。

 

其實，在羅必達法則之後大約兩百年，奧地利數學家 Otto Stolz 於 1885 年提出了羅必達法則的離散版本，今日稱之為 Stolz-Cesaro Theorem 。

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一、前言

做極限問題時，有一種方法，是先假設極限值為 \alpha，接著再解方程式求出 \alpha 值。嚴格說起來，正確解法應該要證明極限存在，否則你可能是把實際上發散的極限解出一個虛假的極限值。

但高中數學很多時候不是計算題，過程稍不嚴謹無妨，只要自己確信是對的就好。比方說按題意極限很明顯存在，只是我不去證。

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