微積分福音

 

科目：

台灣   大一微積分修課、高等微積分修課（台大以外）、線性代數修課（台大以外）、轉學考微積分或線性代數、研究所入學考微積分或線性代數、高普考微積分、高中數學（含學力測驗及指定科目考試之準備）、機器學習所需之數學基礎

大陸  台生在大陸修高等數學、考研高等數學、專升本高等數學、港澳台研究所入學考數學科、港澳台升大學數學科

美國  SAT Math, Precalculus, AP Calculus, Calculus

英國  A Level Mathematics

加拿大  Precalculus, Calculus

 

若有其它需求亦可討論。

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實施108課綱的第一個學期即將來臨，在這一新的課綱中，刪去了99課綱的插值多項式。回想當年99課綱剛實行，出現這樣一個從來不曾在高中數學出現的主題，致使許多老師一陣忙亂，自己都不熟甚至沒學過了，還要教學生。然而這些年來，隨著老師們的不斷編寫教材與發展考題，大家也慢慢感受到插值多項式的精神、課綱制定者將插值多項式放入高中數學的用意，歷年大考亦出現幾道可直接用插值多項式想法而不必死套公式便可得到答案的妙題。如今，插值多項式又要因新課綱而退出高中數學舞台，頗感惋惜之餘，決定寫篇短文，分享拉格朗日插值法的樸素想法。

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數甲：

 

第一部分

二、多選題

6. 設 \langle a_n\rangle 、 \langle b_n\rangle 為兩實數數列，且對所有正整數 n ， a_n<b^2_n<a_{n+1} 均成立。若已知 \mlim{n\to\infty} a_n=4 ，試選出正確的選項。
(1) 對所有正整數 n ， a_n>3 均成立
(2) 存在正整數 n ，使得 a_{n+1}>4
(3) 對所有正整數 n ， b_n^2<b_{n+1}^2 均成立
(4) \mlim{n\to\infty} b_n^2=4
(5) \mlim{n\to\infty} b_n=2 或 \mlim{n\to\infty} b_n=-2

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許多同學在求數列極限時，習慣性地也使用羅必達法則。例如 \mlim{n\to\infty}\mfrac{\ln(n)}{n} ，使用羅必達法則寫成 \mlim{n\to\infty} \mfrac{\frac{1}{n}}{1}=0 。這樣有點奇怪，因為數列是離散的，嚴格說起來不能對其求導。若要看起來正確一點，可以先將 n 改為 x ，寫成

    \begin{align*} &\,\lim_{x\to\infty} \frac{\ln(x)}{x}\\[1mm] \overset{L}{=}&\,\lim_{x\to\infty} \frac{\frac{1}{x}}{1}=0 \end{align*}

這樣，因為若 f(x)\to L ，則 a_n=f(n)\to L ，所以能推論原極限也是 0 。但這樣似乎又囉嗦了點，既然看起來差不多，不嚴謹點對數列求導好像結果也一樣。

 

其實，在羅必達法則之後大約兩百年，奧地利數學家 Otto Stolz 於 1885 年提出了羅必達法則的離散版本，今日稱之為 Stolz-Cesaro Theorem 。

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一、前言

做極限問題時，有一種方法，是先假設極限值為 \alpha，接著再解方程式求出 \alpha 值。嚴格說起來，正確解法應該要證明極限存在，否則你可能是把實際上發散的極限解出一個虛假的極限值。

但高中數學很多時候不是計算題，過程稍不嚴謹無妨，只要自己確信是對的就好。比方說按題意極限很明顯存在，只是我不去證。

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