書籍已出版：白話微積分

本站所分享之大一微積分內容，已經由五南出版社出版，

書名定爲白話微積分。

108指考微積分相關試題解析

數甲：

第一部分

二、多選題

6. 設 $\langle a_n\rangle$ 、 $\langle b_n\rangle$ 為兩實數數列，且對所有正整數 $n$ ， $a_n<b^2_n<a_{n+1}$ 均成立。若已知 $\mlim{n\to\infty} a_n=4$ ，試選出正確的選項。
(1) 對所有正整數 $n$ ， $a_n>3$ 均成立
(2) 存在正整數 $n$ ，使得 $a_{n+1}>4$
(3) 對所有正整數 $n$ ， $b_n^2<b_{n+1}^2$ 均成立
(4) $\mlim{n\to\infty} b_n^2=4$
(5) $\mlim{n\to\infty} b_n=2$ 或 $\mlim{n\to\infty} b_n=-2$

解

(1) $\XX$ 　有可能 $\langle a_n\rangle$ 的前幾項不成立。具體例子如 $\langle a_n\rangle=4-\frac{3}{n}$

(2) $\XX$ 　由 $a_n<b^2_n<a_{n+1}$ 恆成立可知 $\langle a_n\rangle$ 為嚴格遞減數列，若有某項大於 $4$ ，不可能最終還趨近 $4$ 。

(3) $\OO$ 　 $a_n<b^2_n<a_{n+1}<b^2_{n+1}$ 恆成立。

(4) $\OO$ 　 $\mlim{n\to\infty}a_n=\mlim{n\to\infty}a_{n+1}=4$ ，由夾擠定理， $\mlim{n\to\infty} b^2_n=4$

(5) $\XX$ 　 $\langle b_n\rangle$ 有可能正負交錯導致發散。

第二部分

二. 設 $f(x)$ 為實係數多項式函數，且 $xf(x) =3x^4-2x^3+x^2+\medint\int_1^x f(t)\dt$ 對 $x\geq1$ 恆成立。試回答下列問題。

(1) 試求 $f(1)$ 。
(2) 試求 $f'(x)$ 。
(3) 試求 $f(x)$ 。
(4) 試證明恰有一大於 $1$ 的實數 $a$ 滿足 $\medint\int_0^a f(x)\dx=1$ 。

解

(1) 代 $x=1$ ：

(1) $\begin{align*} 1\cdot f(1)=&\,3-2+1+\cancelto{0}{\int_1^1 f(t)\dt}\\ \Rightarrow f(1)=&\,2 \end{align*}$

(2) 等號兩邊同時對 $x$ 求導：

(2) $\begin{align*} \cancel{f(x)}+xf'(x)=&\,12x^3-6x^2+2x+\cancel{f(x)}\\ \Rightarrow f'(x)=&\,12x^2-6x+2 \end{align*}$

(3) 由 $f'(x)=12x^2-6x+2$ 可得 $f(x)=4x^3-3x^2+2x+C$ ，再由 $f(1)=2$ 可得 $C=-1$ ，故 $f(x)=4x^3-3x^2+2x-1$ 。

(4) <1> 代 $x=0$ ：

(3) $\begin{align*} 0\cdot f(0)=&\,\int_1^0 f(t)\dt\\ \Rightarrow \int_0^1 f(t)\dt=&\,0 \end{align*}$

<2> 設 $F(x)=\medint\int_0^x f(t)\dt$ 。
1. 由 <1> 可知 $F(1)=0$ 。
2. $f(x)$ 之領導係數為正，故 $F(x)$ 之領導係數亦為正，則 $\mlim{x\to\infty} f(x)=\infty$ 。因此存在比 $1$ 大的數 $k$ 使得 $F(k)=1$ 。
3. 當 $x\ge1$ ，

(4) $\begin{align*}F'(x)=&\,f(x)\\ =&\,4x^3-3x^2+2x-1\\ =&\,x^2(4x-3)+(2x-1)\\ \ge&\,1^2\cdot(4-3)+(2-1)>0\end{align*}$

故 $F(x)$ 在 $x\ge1$ 為嚴格遞增，因此 $F(x)=1$ 不存在第二個大於 $1$ 的實數解。

由以上討論， $\medint\int_0^x f(t)\dt=1$ 恰有一個大於 $1$ 的實數解，即為所欲證。

另解

代 $x=0$ ：

(5) $\begin{align*} 0\cdot f(0)=&\,\int_1^0 f(t)\dt\\ \Rightarrow \int_0^1 f(t)\dt=&\,0 \end{align*}$

設 $F(x)=\medint\int_0^x f(t)\dt$ 為連續函數， $F(1)=0$ 。

當 $x\ge1$ ，

(6) $\begin{align*} f(x)=&\,4x^3-3x^2+2x-1\\ =&\,x^2(4x-3)+(2x-1)\\ \ge&\,1^2\cdot(4-3)+(2-1)>1\end{align*}$

可知當 $x\ge1$ ，被積分函數 $f(x)$ 恆正， $F(x)=\medint\int_0^x f(t)\dt$ 嚴格遞增； $f(x)$ 恆大於 $1$ ， $\mlim{x\to\infty} F(x)\ge \mlim{x\to\infty}\medint\int_1^{x}1\dt=\infty$ 。故由連續函數的勘根定理知恰有一大於 $1$ 實數 $a$ 滿足 $F(a)=1$ ，即為所欲證。

淺說向量微積分

因為沒時間寫比較完整的教學，本文採投影片形式，以簡略、不嚴謹的方式，不完整地整理幾個向量微積分的知識點。建議下載至電腦後以全螢幕顯示投影片。

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羅必達法則的離散版本：Stolz定理

許多同學在求數列極限時，習慣性地也使用羅必達法則。例如 $\mlim{n\to\infty}\mfrac{\ln(n)}{n}$ ，使用羅必達法則寫成 $\mlim{n\to\infty} \mfrac{\frac{1}{n}}{1}=0$ 。這樣有點奇怪，因為數列是離散的，嚴格說起來不能對其求導。若要看起來正確一點，可以先將 $n$ 改為 $x$ ，寫成